3. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (смотри рисунок). Докажите, AC = AD.

Решение:

Дано: Окружность с центром О, диаметр АВ, хорды АС и AD, ∠BAC = ∠BAD.

Доказать: AC = AD.

Доказательство:

1. Равные углы: По условию, ∠BAC = ∠BAD.
2. Вписанные углы и дуги: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, если вписанные углы равны, то и дуги, на которые они опираются, также равны.
3. Дуги AC и AD: Угол ∠BAC опирается на дугу BC. Угол ∠BAD опирается на дугу BD.
4. Связь равенства углов с равенством дуг: Так как ∠BAC = ∠BAD, то соответствующие дуги, на которые они опираются, тоже равны: дуга BC = дуга BD.
5. Равные дуги и равные хорды: В одной окружности равным дугам соответствуют равные хорды.
6. Вывод: Поскольку дуга BC равна дуге BD, то и хорды, стягивающие эти дуги, равны. Следовательно, AC = AD.

Что и требовалось доказать.