3.В окружности с центром О проведены диаметр КВ и хорды ВС и ВД так, что ∠BOC = ∠BOD (рис. 69). Докажите, что ВС = BD. D Рис. 69 K B C

Решение:

1. Дано: Окружность с центром О, диаметр КВ, хорды ВС и ВД, ∠BOC = ∠BOD.
2. Доказать: ВС = BD.
3. Пояснение: Центральные углы ∠BOC и ∠BOD равны. Центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Следовательно, дуги BC и BD равны. Хорды, стягивающие равные дуги в одной окружности, равны.
4. Доказательство:
   1. Так как ∠BOC и ∠BOD — центральные углы, опирающиеся на дуги BC и BD соответственно, и ∠BOC = ∠BOD, то дуги BC и BD равны (дуга равна центральному углу, который ее стягивает).
   2. В одной окружности равные дуги стягиваются равными хордами.
   3. Следовательно, хорда BC равна хорде BD.
5. Альтернативное доказательство (через треугольники):
   1. Рассмотрим треугольники ΔOBC и ΔOBD.
   2. OB = OB (общая сторона).
   3. OC = OD (радиусы окружности).
   4. ∠BOC = ∠BOD (по условию).
   5. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔOBC = ΔOBD.
   6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон BC = BD.

Ответ: Доказано.