№ 3. В окружности с центром С проведены диаметр DK и хорды КА и КВ так, что ∠OAK=∠OBK (рис.67). Докажите, что АК=BK.

Решение:

Дано: Окружность с центром С, DK – диаметр, КА и КВ – хорды, ∠OAK = ∠OBK.

Доказать: АК = BK.

1. Рассмотрим треугольники ΔOAC и ΔOBC. OA = OB (радиусы), OC – общая сторона.
2. В треугольнике ΔOAK, OA = OK (радиусы), значит, он равнобедренный.
3. В треугольнике ΔOBK, OB = OK (радиусы), значит, он равнобедренный.
4. По условию ∠OAK = ∠OBK.
5. Рассмотрим треугольники ΔAKC и ΔBKC.
6. CK = CK (общая сторона).
7. AC = BC (радиусы).
8. Углы ∠CAK и ∠CBK равны.
9. В прямоугольном треугольнике (если CK - перпендикуляр)
10. Рассмотрим треугольники ΔAKD и ΔBKD.
11. AD = BD (если DK - биссектриса/медиана/высота).
12. Рассмотрим треугольники ΔAKC и ΔBKC.
13. AC = BC (радиусы). CK — общая сторона.
14. Углы ∠ACK и ∠BCK могут быть не равны.
15. Рассмотрим треугольники ΔAKO и ΔBKO.
16. OA=OB (радиусы). OK — общая сторона.
17. ∠OAK = ∠OBK (по условию).
18. По признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если бы угол был между сторонами.
19. Треугольники ΔAKO и ΔBKO не обязательно равны.
20. Рассмотрим треугольники ΔAKD и ΔBKD.
21. KD - общий диаметр.
22. Рассмотрим центральные углы, соответствующие хордам AK и BK.
23. Угол ∠ACK и ∠BCK.
24. Углы ∠AOC и ∠BOC.
25. Из условия ∠OAK = ∠OBK, и того, что OA=OK, OB=OK (радиусы), следует, что треугольники ΔOAK и ΔOBK являются равнобедренными.
26. В равнобедренном треугольнике OAK, ∠OKA = ∠OAK.
27. В равнобедренном треугольнике OBK, ∠OKB = ∠OBK.
28. Так как ∠OAK = ∠OBK, то ∠OKA = ∠OKB.
29. Это значит, что OK является биссектрисой угла ∠AKB.
30. Рассмотрим треугольник ΔAKB. OK является биссектрисой угла ∠AKB.
31. Также, CK — это часть диаметра, проходящего через центр.
32. Если OK является биссектрисой равнобедренного треугольника AKB, то OK является и медианой, и высотой.
33. Тогда AK = BK.
34. Альтернативное доказательство:
35. Рассмотрим треугольники ΔCAK и ΔCBK.
36. AC = BC (радиусы).
37. CK — общая сторона.
38. Углы ∠OAK и ∠OBK равны.
39. Так как OA = OB (радиусы), то треугольники ΔOAK и ΔOBK равны по двум сторонам и углу между ними (не совсем, угол не между сторонами).
40. Рассмотрим углы ∠COA и ∠COB.
41. Угол ∠COA = 180° - 2 * ∠OAK.
42. Угол ∠COB = 180° - 2 * ∠OBK.
43. Так как ∠OAK = ∠OBK, то ∠COA = ∠COB.
44. Равные центральные углы опираются на равные хорды.
45. Следовательно, хорда AK равна хорде BK.

Доказано.