3. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями равными 6м и 8м. Площадь ее поверхности равна 248м². Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение:

Это задача про прямую призму, в основании которой лежит ромб. Нам нужно найти длину бокового ребра, зная площадь полной поверхности и диагонали ромба.

Формулы, которые нам понадобятся:

• Площадь ромба (S_осн):
  \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 \]
  где d₁ и d₂ — диагонали ромба.
• Площадь боковой поверхности призмы (S_бок):
  \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h \]
  где P_осн — периметр основания, h — высота призмы (она же боковое ребро).
• Площадь полной поверхности призмы (S_полн):
  \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \]

Дано:

• Основание — ромб с диагоналями d₁ = 6 м и d₂ = 8 м.
• Площадь полной поверхности призмы S_полн = 248 м².
• Найти боковое ребро (h).

1. Находим площадь основания (S_осн):
   \[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \] м²
2. Находим площадь боковой поверхности (S_бок):
   Из формулы полной поверхности:
   \[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \]
   \[ 248 = S_{бок} + 2 \cdot 24 \]
   \[ 248 = S_{бок} + 48 \]
   \[ S_{бок} = 248 - 48 = 200 \] м²
3. Находим сторону ромба (a):
   Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Образуется 4 прямоугольных треугольника с катетами d₁/2 и d₂/2. Найдем гипотенузу (сторону ромба) по теореме Пифагора:
   \[ a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \]
   \[ a^2 = (\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2 \]
   \[ a^2 = 3^2 + 4^2 \]
   \[ a^2 = 9 + 16 \]
   \[ a^2 = 25 \]
   \[ a = \sqrt{25} = 5 \] м
4. Находим периметр основания (P_осн):
   Так как у ромба все стороны равны:
   \[ P_{осн} = 4 \cdot a = 4 \cdot 5 = 20 \] м
5. Находим боковое ребро (h):
   Из формулы площади боковой поверхности:
   \[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h \]
   \[ 200 = 20 \cdot h \]
   \[ h = \frac{200}{20} = 10 \] м

Ответ: Боковое ребро призмы равно 10 м.