3. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 47°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD. Рассмотрим треугольник ACD: AC = 2CD, а ∠ACD = 47°.

Пусть O — точка пересечения диагоналей. Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому AO = AC/2 = CD. В треугольнике ACD отрезок CO является медианой к стороне AD, но для нахождения угла между диагоналями удобнее учесть, что диагональ BD направлена как разность векторов AC и 2AB. Из теоремы косинусов и геометрии параллелограмма меньший угол между диагоналями равен половине угла ∠ACD:

\(\angle(AC,BD)=\frac{47^\circ}{2}=23.5^\circ\).

Ответ: 23,5°.