3. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны AD, N — точка на стороне BC такая, что BN:NC = 1:2. Выразите векторы BK и ND через векторы \(\vec a=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec b=\overrightarrow{AD}\). Построение обязательно.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

В параллелограмме \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b\), а \(\overrightarrow{BA}=\vec a\).

Так как K — середина AD, \(\overrightarrow{AK}=\frac12\vec b\). По правилу сложения векторов:

\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b\).

Из отношения \(BN:NC=1:2\) следует, что \(\overrightarrow{BN}=\frac13\overrightarrow{BC}=\frac13\vec b\). Тогда

\(\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BD}=-\frac13\vec b+(\vec a+\vec b)=\vec a+\frac23\vec b\).

Ответ: \(\overrightarrow{BK}=\vec a+\frac12\vec b\), \(\overrightarrow{ND}=\vec a+\frac23\vec b\).