3. В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём AE = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Обозначим через \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\) и \(\vec{v}=\overrightarrow{AD}\). Пусть \(t\) — доля стороны \(AB\), которую составляет \(AE\), а \(r\) — доля стороны \(BC\), которую составляет \(BF\). Тогда из условий равенств и параллельности противоположных сторон:

1. Так как \(AE=CK\) и \(AB=CD\), точки \(E\) и \(K\) делят стороны в одинаковом отношении от вершин \(A\) и \(C\). Поэтому \(\overrightarrow{AE}=t\vec{u}\), а \(\overrightarrow{AK}=(1-t)\vec{u}+\vec{v}\).
2. Так как \(BF=DM\) и \(BC=AD\), если \(\overrightarrow{BF}=r\vec{v}\), то \(\overrightarrow{AM}=(1-r)\vec{v}\).
3. Следовательно, \(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AK}=\vec{u}+\vec{v}\) и \(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AM}=(\vec{u}+r\vec{v})+(1-r)\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}\).

Итак, диагонали четырёхугольника EFKM — отрезки EK и FM — имеют общий середину. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Следовательно, EFKM — параллелограмм.