3. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла K, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

а) Так как MN ∥ KP, то ME ∥ KP. Поэтому ∠KEM равен углу между KE и KP. Поскольку KE — биссектриса угла K, угол между KE и KP равен ∠MKE. Значит, ∠KEM = ∠MKE, а против равных углов лежат равные стороны: KM = ME. Следовательно, треугольник KME равнобедренный.

б) Из пункта а) KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому 52 = 2(10 + KP). Тогда KM + KP = 26 и KP = 26 − 10 = 16 см.

Ответ: KP = 16 см.