3. В параллелограмме PKMN точка C — середина стороны PK. Известно, что CM = CN. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Обозначим через O середину стороны PK. По условию O = C. В параллелограмме отрезок, соединяющий середины противоположных сторон PK и MN, параллелен боковым сторонам. Удобнее проверить равенство расстояний координатами.

1. Расположим PK горизонтально: пусть P = (−a, 0), K = (a, 0), а C = (0, 0). Тогда, поскольку PKMN — параллелограмм, можно записать N = (u, v) и M = (u + 2a, v).
2. Из CM = CN следует равенство квадратов расстояний: \((u+2a)^2+v^2=u^2+v^2\).
3. После сокращения получаем \(4a(u+a)=0\). Так как a ≠ 0, то u = −a.
4. Значит, N = (−a, v), и сторона PN вертикальна, тогда как PK горизонтальна. Следовательно, PN ⟂ PK, то есть параллелограмм имеет прямой угол.

Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.