Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3. В △PQS PR = RQ, ∠PRQ = 120°, PS ⊥ OR, PS = 7 см. Найдите PQ.Фото задания

Ответ:

INSIGHT

Краткое пояснение: Для решения задачи необходимо использовать свойства равнобедренного треугольника и тригонометрические соотношения.

Пошаговое решение:

  1. Рассмотрим треугольник PRQ. Так как PR = RQ, то треугольник PRQ равнобедренный.
  2. Угол ∠PRQ = 120°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому ∠RPQ = ∠RQP = (180° - 120°) / 2 = 30°.
  3. В треугольнике PSR, ∠PSR = 90°, ∠PRS = 180° - ∠PRQ = 180° - 120° = 60°. (Если точка S лежит на продолжении OR, тогда ∠PRS = 120° - 90° = 30°. В условии сказано PS ⊥ OR, что означает, что угол между PS и OR равен 90°. По рисунку видно, что S лежит внутри угла PRQ. В этом случае, ∠PRS = ∠PRQ - ∠SRQ = 120° - ∠SRQ. Также ∠PS R = 90°. В треугольнике PRS, ∠PRS + ∠RSP + ∠SPR = 180°. Предполагаем, что S лежит на стороне RQ, тогда ∠PSR=90°. В прямоугольном треугольнике PSR: PR - гипотенуза. PS = PR * sin(∠PRQ) - некорректно. Если PS ⊥ OR, то S лежит на OR. В данном случае, OR - это PR. Следовательно PS ⊥ PR. Это означает, что ∠SPR = 90°. Но по условию ∠PRQ = 120°. Это противоречие. Перечитаем условие: PS ⊥ OR. По рисунку видно, что R находится на PQ. S находится на PR. PS - высота. Угол ∠PRQ = 120°. Отрезок OR. Если OR - это PR, то PS ⊥ PR, значит ∠PSR = 90°. В этом случае S лежит на PR. В треугольнике PQR, PR=RQ. ∠PRQ = 120°. ∠RPQ = ∠RQP = 30°. В прямоугольном треугольнике PSR: ∠PSR = 90°, ∠PRS = 180° - 120° = 60° (если S лежит на продолжении RQ). В этом случае PS = PR * sin(60°). PS = 7. PR = 7 / sin(60°) = 7 / (√3/2) = 14/√3. PQ = PR + RQ = 2 * PR = 28/√3. Если S лежит на RQ, то ∠PSR = 90°. В прямоугольном треугольнике PSR: ∠SRP = 180° - 120° = 60°. PS = PR * sin(60°). 7 = PR * (√3/2). PR = 14/√3. PQ = 2 * PR = 28/√3. Если PS ⊥ OR, и OR - это луч, исходящий из O. Если O = P, то PS ⊥ PR, что мы исключили. Если OR - это отрезок, то S лежит на OR. По рисунку S лежит на PR. PS - высота. ∠PSR = 90°. В △PQR, PR=RQ, ∠PRQ = 120°, ∠RPQ=∠RQP=30°. PS=7. В прямоугольном △PSR: ∠PSR=90°, ∠PRS = 180°-120°=60°. PS = PR sin(60°). 7 = PR * (√3/2). PR = 14/√3. PQ = 2*PR = 28/√3. Это при условии, что S лежит на RQ. Но по рисунку S лежит на PR. Тогда PS - это не высота. PS = 7. ∠PRQ = 120°. PR = RQ. PS ⊥ OR. Если OR - это PR, то PS ⊥ PR. Значит ∠SPR = 90°. Но ∠RPQ = 30°. Это противоречие. Вернемся к рисунку. S находится на PR. PS = 7. ∠PRQ = 120°. PR=RQ. PS ⊥ OR. Пусть O - точка на PR. Тогда PS ⊥ PR. Это невозможно, так как S на PR. Возможно, OR - это луч. Если O=R, то PS ⊥ RR, что не имеет смысла. Если OR - это продолжение PQ, или RQ. По рисунку S лежит на PR. PS = 7. PR=RQ, ∠PRQ = 120°, ∠RPQ=∠RQP=30°. PS ⊥ OR. Если OR - это PQ, то PS ⊥ PQ, значит ∠PSQ = 90°. В △PQS, ∠PQS = 30°. ∠SPQ = 180° - 90° - 30° = 60°. Но ∠RPQ = 30°. Значит S должна быть между P и R. Если S находится на PR, и PS = 7. ∠PRQ = 120°. PR=RQ. ∠RPQ = 30°. PS ⊥ OR. Если OR - это PR, то PS ⊥ PR. Это не может быть. Если OR - это PQ, то PS ⊥ PQ, ∠PSQ = 90°. В △PQS, ∠PQS = 30°. ∠SPQ = 60°. Тогда PS = PQ sin(30°). 7 = PQ * 1/2. PQ = 14. Если PQ = 14, then PR = RQ = 7. В △PQR, PR=RQ=7, ∠PRQ=120°. PQ=14. По теореме косинусов: PQ^2 = PR^2 + RQ^2 - 2*PR*RQ*cos(120°) = 7^2 + 7^2 - 2*7*7*(-1/2) = 49 + 49 + 49 = 3*49. PQ = 7√3. Это противоречит PQ=14. Итак, предположение, что OR = PQ, неверно. Вернемся к PS ⊥ OR. По рисунку S лежит на PR. PS=7. ∠PRQ=120°. PR=RQ. ∠RPQ=∠RQP=30°. PS ⊥ OR. Если O=R, то PS ⊥ RR. Если O=Q, то PS ⊥ QR. Значит ∠PSQ = 90°. В △PQS, ∠PQS = 30°. ∠SPQ = 180° - 90° - 30° = 60°. PS = 7. PQ = PS / sin(30°) = 7 / (1/2) = 14. В △PQR, PR=RQ. ∠PRQ=120°, ∠RPQ=30°. Если PQ=14, then PR = RQ = PQ / (2*cos(30°)) = 14 / (2 * √3/2) = 14/√3. PS=7. S lies on PR. So PS < PR. 7 < 14/√3. 7√3 < 14. √3 < 2. This is true. So PQ=14 is a possible answer. Let's check if S lies on PR. In △PQS, ∠SPQ=60°. But ∠RPQ=30°. This means S cannot be on PR. The drawing is misleading. Let's assume PS is the altitude to RQ. So S is on RQ. PS = 7. ∠PRQ = 120°. PR = RQ. ∠RPQ = ∠RQP = 30°. In right triangle PSR, ∠PSR = 90°. ∠PRS = 180° - 120° = 60°. PS = PR sin(60°). 7 = PR * (√3/2). PR = 14/√3. Since PR = RQ, RQ = 14/√3. PQ^2 = PR^2 + RQ^2 - 2 PR RQ cos(120°) = (14/√3)^2 + (14/√3)^2 - 2 (14/√3)(14/√3)(-1/2) = 196/3 + 196/3 + 196/3 = 3 * (196/3) = 196. PQ = √196 = 14. In this case, S is on RQ. PS = 7. RS = PR cos(60°) = (14/√3) * (1/2) = 7/√3. RQ = 14/√3. S is on RQ because RS < RQ (7/√3 < 14/√3). This interpretation fits the conditions.
  4. Alternatively, consider △PQR. PR = RQ, so it's isosceles. ∠PRQ = 120°. Thus, ∠RPQ = ∠RQP = (180° - 120°)/2 = 30°.
  5. PS = 7 and PS ⊥ OR. Assuming OR is the line segment RQ, then PS is the altitude from P to RQ.
  6. In right-angled triangle △PSR, ∠PSR = 90°. ∠PRS = 180° - ∠PRQ = 180° - 120° = 60°.
  7. Using trigonometry in △PSR: PS = PR * sin(∠PRS).
  8. 7 = PR * sin(60°).
  9. 7 = PR * (√3/2).
  10. PR = 14/√3.
  11. Since △PQR is isosceles with PR = RQ, RQ = 14/√3.
  12. Now we find PQ using the Law of Cosines in △PQR:
  13. PQ² = PR² + RQ² - 2 * PR * RQ * cos(∠PRQ).
  14. PQ² = (14/√3)² + (14/√3)² - 2 * (14/√3) * (14/√3) * cos(120°).
  15. PQ² = 196/3 + 196/3 - 2 * (196/3) * (-1/2).
  16. PQ² = 196/3 + 196/3 + 196/3 = 3 * (196/3) = 196.
  17. PQ = √196 = 14.

Ответ: 14 см