Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Дано:
Правильная четырёхугольная пирамида.
a = 6 см (сторона основания)
l = \(\sqrt{50}\\text{ см}\\text{ (боковое ребро)}
Найти:
- cos α - косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания
- Sбок - площадь боковой поверхности
Решение:
- Найдём косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания:
- В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат. Диагонали квадрата пересекаются в его центре.
- Опустим высоту пирамиды из вершины S на основание ABCD. Точка её основания - центр квадрата, обозначим её O.
- Боковое ребро SA образует с плоскостью основания угол α, который равен углу между SA и его проекцией AO.
- Найдём длину диагонали основания AC: \( AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \text{ см} \).
- Найдём длину AO (половина диагонали): \( AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} \).
- Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник SAO. По определению косинуса угла: \( \cos \alpha = \frac{AO}{SA} \).
- Подставим значения: \( \cos \alpha = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{50}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = \frac{3}{5} \).
- Найдём площадь боковой поверхности:
- Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему: \( S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a \).
- Периметр основания: \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см} \).
- Найдём апофему (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (SO), половиной стороны основания (OK, где K - середина стороны CD) и апофемой (SK).
- Сначала найдём высоту пирамиды SO, используя теорему Пифагора для \( \triangle SAO \): \( SO^2 = SA^2 - AO^2 = (\sqrt{50})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 50 - 18 = 32 \Rightarrow SO = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \).
- \( OK = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 \text{ см} \).
- Теперь найдём апофему SK, используя теорему Пифагора для \( \triangle SOK \): \( SK^2 = SO^2 + OK^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2 = 32 + 9 = 41 \Rightarrow SK = \sqrt{41} \text{ см} \).
- Вычислим площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ см} \cdot \sqrt{41} \text{ см} = 12\sqrt{41} \text{ см}^2 \).
Ответ: косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания равен \(\frac{3}{5}\), площадь боковой поверхности равна \(12\sqrt{41}\\text{ см}^2\).
