3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6см, высота боковой грани равна 15 см. Вычислите высоту пирамиды.

Решение:

В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат. Сторона основания \( a = 6 \) см.

Высота боковой грани (апофема) \( h_a = 15 \) см.

Чтобы найти высоту пирамиды \( H \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания.

Половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см.

По теореме Пифагора:

\[ H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = h_a^2 \]

\[ H^2 + 3^2 = 15^2 \]

\[ H^2 + 9 = 225 \]

\[ H^2 = 225 - 9 \]

\[ H^2 = 216 \]

\[ H = \(\sqrt{216}\) = \(\sqrt{36 \cdot 6}\) = 6\(\sqrt{6}\) \) см.

Ответ: \( 6\sqrt{6} \) см.