3. В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AA_1\) равно 6, а диагональ \(BD_1\) равна 10. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки \(A\), \(A_1\) и \(C\).

Пусть сторона квадратного основания равна \(a\). Диагональ \(BD_1\) образует прямоугольный треугольник с диагональю основания \(BD=a\sqrt{2}\) и высотой призмы \(AA_1=6\):

\((a\sqrt{2})^2+6^2=10^2\), поэтому \(2a^2=64\) и \(a\sqrt{2}=8\).

Плоскость через \(A\), \(A_1\) и \(C\) содержит вертикальное ребро \(AA_1\). Поскольку призма прямая, она также проходит через вертикальное ребро \(CC_1\). Сечение — прямоугольник \(ACC_1A_1\) со сторонами \(AC=8\) и \(AA_1=6\).

Площадь сечения: \(8\cdot6=48\).

Ответ: 48.