3. В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро AA₁ равно 6, а диагональ BD₁ равна 10 (см. рис. 75). Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A₁ и C.

Основание призмы — квадрат. Обозначим его сторону через a. Сечение плоскостью через A, A₁ и C — прямоугольник AA₁C₁C: его стороны равны AA₁ и диагонали AC основания.

Диагональ BD₁ образует прямоугольный треугольник с высотой AA₁ и диагональю BD квадратного основания. По теореме Пифагора: BD² = BD₁² − AA₁² = 10² − 6² = 64, поэтому BD = 8. Диагонали квадрата равны, следовательно, AC = 8.

Площадь сечения: S = AA₁ · AC = 6 · 8 = 48.

Ответ: 48.