3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания, объём пирамиды. Ответ запишите в градусах.

Задание 3

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим площадь основания.
   Основание – правильный треугольник со стороной \( a = 2\sqrt{3} \) см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
   \( S_{осн} = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{12 \sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \) см².
2. Шаг 2: Находим объём пирамиды.
   Высота пирамиды \( h = 2 \) см. Объём \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).
   \( V = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3} \) см³.
3. Шаг 3: Находим проекцию бокового ребра на основание.
   В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания. Для правильного треугольника центр – это точка пересечения медиан (и биссектрис, и высот). Радиус вписанной окружности \( r \) равен расстоянию от центра до стороны. Радиус описанной окружности \( R \) равен расстоянию от центра до вершины. Для правильного треугольника \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
   \( R = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \) см. Эта длина является проекцией бокового ребра на основание.
4. Шаг 4: Находим угол наклона бокового ребра.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (катет, 2 см), радиусом описанной окружности (катет, 2 см) и боковым ребром (гипотенуза). Тангенс угла наклона бокового ребра \( \alpha \) к плоскости основания равен отношению высоты пирамиды к радиусу описанной окружности.
   \( \tan \alpha = \frac{h}{R} = \frac{2}{2} = 1 \).
   Следовательно, \( \alpha = \arctan(1) = 45° \).

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°. Объём пирамиды равен 2√3 см³.