3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2√3 см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания, объём пирамиды. Ответ запишите в градусах.

Решение:

1. Объём пирамиды:

Объём пирамиды находится по формуле: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \times h \).

Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 2\textrm{√}3 \) см.

Площадь правильного треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^2\textrm{√}3}{4} = \frac{(2\textrm{√}3)^2\textrm{√}3}{4} = \frac{12\textrm{√}3}{4} = 3\textrm{√}3 \) см².

Высота пирамиды \( h = 2 \) см.

Объём: \( V = \frac{1}{3} \times 3\textrm{√}3 \times 2 = 2\textrm{√}3 \) см³.

2. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания:

Пусть пирамида — ABCS, где ABC — основание, S — вершина. Высота SH = 2 см. Точка H — центр правильного треугольника (точка пересечения медиан). Боковое ребро SA. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между SA и SH, то есть \( \textrm{∠}ASH \).

Найдем радиус описанной окружности около основания (расстояние от центра до вершины): \( R = \frac{a}{\textrm{√}3} = \frac{2\textrm{√}3}{\textrm{√}3} = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике ASH (\( \textrm{∠}ASH \) — искомый угол, \( \textrm{∠}SH A = 90^\textrm{°} \)):

\( \textrm{tg}(\textrm{∠}ASH) = \frac{SH}{HA} = \frac{2}{2} = 1 \).

Так как \( \textrm{tg}(\textrm{∠}ASH) = 1 \), то \( \textrm{∠}ASH = 45^\textrm{°} \).

Ответ: Объём пирамиды равен 2√3 см³. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°.