4. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Задание 4

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим площадь основания.
   Основание призмы – треугольник со сторонами \( a = 5 \) см, \( b = 3 \) см и углом \( \gamma = 120° \) между ними. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{1}{2} ab    \gamma \).
   \( S_{осн} = \frac{1}{2}  5  3  \sin(120°) = \frac{15}{2}  \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \) см².
2. Шаг 2: Находим высоту призмы.
   Площадь боковой грани равна произведению соответствующей стороны основания на высоту призмы. Наибольшая площадь боковой грани соответствует наибольшей стороне основания. В данном случае, мы не знаем все три стороны основания. Однако, мы можем найти третью сторону основания по теореме косинусов: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab    \gamma \).
   \( c^2 = 5^2 + 3^2 - 2  5  3  \cos(120°) = 25 + 9 - 30  (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49 \).
   \( c = \sqrt{49} = 7 \) см. Наибольшая сторона основания равна 7 см. Наибольшая площадь боковой грани равна 56 см². Пусть высота призмы равна \( h \). Тогда \( 7  h = 56 \).
   \( h = \frac{56}{7} = 8 \) см.
3. Шаг 3: Находим площадь боковой поверхности.
   Периметр основания \( P = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15 \) см.
   Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = P  h = 15  8 = 120 \) см².
4. Шаг 4: Находим площадь полной поверхности.
   Площадь полной поверхности \( S_{полн} = S_{бок} + 2  S_{осн} \).
   \( S_{полн} = 120 + 2  \frac{15\sqrt{3}}{4} = 120 + \frac{15\sqrt{3}}{2} \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна 120 + \( \frac{15\sqrt{3}}{2} \) см².