4. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см³. Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Найдем третью сторону основания треугольника по теореме косинусов:

Пусть стороны основания \( a = 5 \) см, \( b = 3 \) см, а угол между ними \( \textrm{γ} = 120^\textrm{°} \). Третья сторона \( c \) равна:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \textrm{cos}(\textrm{γ}) \)

\( c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \times 5 \times 3 \textrm{cos}(120^\textrm{°}) \)

\( c^2 = 25 + 9 - 30 \times (-\frac{1}{2}) \)

\( c^2 = 34 + 15 = 49 \)

\( c = \textrm{√}49 = 7 \) см.

2. Найдем высоту призмы:

Основание — треугольник со сторонами 5 см, 3 см, 7 см. Боковые грани призмы — прямоугольники. Площади боковых граней равны произведению стороны основания на высоту призмы \( H \).

Площадь первой грани: \( S_1 = 5H \).

Площадь второй грани: \( S_2 = 3H \).

Площадь третьей грани: \( S_3 = 7H \).

Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см³. Это соответствует наибольшей стороне основания, то есть 7 см.

\( 7H = 56 \)

\( H = \frac{56}{7} = 8 \) см.

3. Найдем площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей боковой поверхности и площадей двух оснований: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \).

Площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3 = 5H + 3H + 7H = 15H = 15 \times 8 = 120 \) см².

Площадь основания — треугольника со сторонами 5 см, 3 см и углом 120° между ними:

\( S_{осн} = \frac{1}{2} ab \textrm{sin}(\textrm{γ}) = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 \textrm{sin}(120^\textrm{°}) \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\textrm{√}3}{2} = \frac{15\textrm{√}3}{4} \) см².

Площадь полной поверхности: \( S_{полн} = 120 + 2 \times \frac{15\textrm{√}3}{4} = 120 + \frac{15\textrm{√}3}{2} \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна \( 120 + \frac{15\textrm{√}3}{2} \) см².