3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и AB1C.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1. 1. Найдем вектор нормали к плоскости (ABC). Плоскость (ABC) лежит в плоскости основания, нормаль к ней n1 = (0,0,1). 2. Найдем вектор нормали к плоскости (AB1C). A(1, 0, 0), B1(1/2, sqrt(3)/2, 1), C(0, sqrt(3), 0) Векторы на плоскости AB1 = (-1/2, sqrt(3)/2, 1), AC = (-1, sqrt(3), 0). n2 = [AB1 x AC] = (-sqrt(3), -1, -sqrt(3)/2) = (sqrt(3), 1, sqrt(3)/2) 3. Синус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями n1 и n2. cos = |n1*n2| / (|n1| * |n2|) = |(0*sqrt(3) + 0*1 + 1* sqrt(3)/2)| / (sqrt(1) * sqrt(3 + 1 + 3/4)) = sqrt(3)/2 / sqrt(19/4) = sqrt(3) / sqrt(19) = sqrt(57)/19 4. Синус угла равен sqrt(1 - cos^2) = sqrt(1 - 3/19) = sqrt(16/19) = 4/sqrt(19) 5. tg = sin / cos = (4/sqrt(19)) / (sqrt(3)/sqrt(19)) = 4 / sqrt(3) = 4sqrt(3)/3. Тангенс угла между плоскостями ABC и AB1C равен 4sqrt(3)/3. Ответ: В данной задаче нам нужно найти тангенс угла между плоскостями ABC и AB1C. Плоскость ABC является основанием призмы, и её вектор нормали направлен вертикально вверх. Плоскость AB1C образует наклонный угол по отношению к основанию. Для того, чтобы найти угол между этими плоскостями, нам сначала нужно найти нормаль к плоскости AB1C, а затем найти угол между этими нормалями, и из этого угла вычислить тангенс угла. После вычислений получаем тангенс 4sqrt(3)/3.