3. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. E — середина стороны AB, ∠BAC равен 50°. Найдите угол EOD.

Пусть ∠BAC = 50°. В прямоугольнике AB ⟂ AD, поэтому ∠CAD = 90° − 50° = 40°.

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, значит, OA = OD. Треугольник AOD равнобедренный, а его угол при A равен ∠DAB − ∠CAB = 90° − 50° = 40°. Поэтому ∠AOD = (180° − 40°) / 2 = 70°.

Точки E и O лежат на перпендикуляре к AD? Чтобы найти искомый угол непосредственно, учтём, что E — середина AB, а O — середина AC. В треугольнике ABC отрезок EO, соединяющий середины AB и AC, параллелен BC и равен половине BC. Так как OD = AC/2, а EO = BC/2, а также BC = AD, получаем соответствующее расположение лучей. Эквивалентно, при координатах A=(0,0), B=(w,0), D=(0,h) имеем E=(w/2,0), O=(w/2,h/2); тогда OE вертикален, OD направлен по вектору (−w/2,h/2). Угол между ними равен 90° + arctan(h/w). Из ∠BAC=50° следует arctan(h/w)=50°, поэтому ∠EOD=140°.

Ответ: 140°.