5. В ромбе угол равен 32°. Найдите углы, которые образуют его стороны с диагоналями. Докажите, что если диагонали прямоугольника перпендикулярны, то он является квадратом.

Диагонали ромба делят его углы пополам. Смежный с углом 32° угол равен 180° − 32° = 148°.

Следовательно, угол между стороной и диагональю, проведённой из вершины с углом 32°, равен 32° / 2 = 16°. Для диагонали, проведённой из вершины с углом 148°, такой угол равен 148° / 2 = 74°.

Углы между сторонами ромба и диагоналями: 16° и 74°.

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Его диагонали можно представить векторами (a, b) и (a, −b). Перпендикулярность диагоналей означает, что их скалярное произведение равно нулю: a² − b² = 0. Значит, a² = b², а поскольку длины положительны, a = b. Прямоугольник с равными сторонами — квадрат.