3. В прямоугольнике CKMN проведена биссектриса угла C, которая пересекает сторону KM в точке E, причем длина отрезка KE на 3 см меньше длины ME. Найдите MN, если периметр CKMN равен 51 см. а) 8 см; б) 9 см; в) 12,5 см; г) 7,5 см.

Обозначим \(CK=MN=x\), а \(KM=h\). Так как угол C прямой, его биссектриса образует с каждой стороной угол \(45°\). Поэтому при пересечении со стороной KM отрезок \(KE\) равен ширине прямоугольника: \(KE=x\).

По условию \(KE\) на 3 см меньше \(ME\), значит \(ME=x+3\). Тогда \(KM=KE+ME=2x+3\).

Из периметра получаем \(2(CK+KM)=51\), то есть \(x+(2x+3)=25.5\). Следовательно, \(3x=22.5\), откуда \(x=7.5\) см.

Поскольку \(MN=CK=x\), искомая сторона равна 7,5 см.

Ответ: г) 7,5 см.