3) В прямоугольном ΔABC (∠C=90°) впис. окр., r=2см, AB=10см. Найти S△ABC.

Объяснение:

Для прямоугольного треугольника существуют специальные формулы, связывающие радиус вписанной окружности (r), стороны треугольника (a, b, c - гипотенуза) и его площадь (S).

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC, ∠C = 90°
• Радиус вписанной окружности, r = 2 см
• Гипотенуза, AB (c) = 10 см

Решение:

1. Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
   \[ r = \frac{a + b - c}{2} \]
2. Подставим известные значения:
   \[ 2 = \frac{a + b - 10}{2} \]
3. Умножим обе стороны на 2:
   \[ 4 = a + b - 10 \]
4. Выразим сумму катетов (a + b):
   \[ a + b = 4 + 10 \]
   \[ a + b = 14 \]
5. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
   \[ S = \frac{1}{2} * a * b \]
6. Нам нужно найти произведение катетов (a * b). Воспользуемся теоремой Пифагора:
   \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
   \[ a^2 + b^2 = 10^2 \]
   \[ a^2 + b^2 = 100 \]
7. Теперь возведем в квадрат выражение для суммы катетов (a + b = 14):
   \[ (a + b)^2 = 14^2 \]
   \[ a^2 + 2ab + b^2 = 196 \]
8. Подставим значение a^2 + b^2 = 100:
   \[ 100 + 2ab = 196 \]
9. Найдем 2ab:
   \[ 2ab = 196 - 100 \]
   \[ 2ab = 96 \]
10. Найдем произведение катетов (ab):
    \[ ab = \frac{96}{2} \]
    \[ ab = 48 \]
11. Теперь можем вычислить площадь треугольника:
    \[ S = \frac{1}{2} * ab \]
    \[ S = \frac{1}{2} * 48 \]
    \[ S = 24 \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 24 см².