3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $BC=4$, ребро $AB=2\sqrt5$, ребро $BB_1=4$. Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Найдите площадь сечения, проходящего через точки $B_1$, $A_1$ и $K$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $BC=4$, ребро $AB=2\sqrt5$, ребро $BB_1=4$. Точка $K$ —…$ Фото задания

3. В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $BC=4$, ребро $AB=2\sqrt5$, ребро $BB_1=4$. Точка $K$ — середина ребра $CC_1$. Найдите площадь сечения, проходящего через точки $B_1$, $A_1$ и $K$.

Accepted Answer

Плоскость, проходящая через точки $A_1$, $B_1$ и $K$, пересекает параллелепипед по прямоугольнику $A_1B_1KL$, где $L$ — середина ребра $DD_1$.

Длина первой стороны сечения:

\[A_1B_1=AB=2\sqrt5.\]

Так как $K$ — середина ребра $CC_1$, то $CK=\dfrac{CC_1}{2}=2$. Вторая сторона сечения образует прямоугольный треугольник с катетами $BC=4$ и $CK=2$:

\[B_1K=\sqrt{BC^2+CK^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5.\]

Площадь сечения:

\[S=A_1B_1\cdot B_1K=2\sqrt5\cdot2\sqrt5=20.\]

Ответ: 20.