3. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна \(3\sqrt{39}\). Найдите sin ∠ABC.

Пусть \(AB\) — гипотенуза. Площадь треугольника можно выразить двумя способами: \(\frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot CH\). Поэтому \(\frac{BC}{AB}=\frac{CH}{AC}=\frac{3\sqrt{39}}{20}\).

По теореме Пифагора для угла B: \(\sin^2 B+\cos^2 B=1\), где \(\cos B=\frac{BC}{AB}\). Следовательно, \(\sin B=\sqrt{1-\left(\frac{3\sqrt{39}}{20}\right)^2}=\sqrt{\frac{49}{400}}=\frac{7}{20}\).

Ответ: \(\dfrac{7}{20}\).