3). В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, LA = 30°, AC = 10 см, CD 1 AB, DE 1 AC. Найдите АЕ.

Задание 3. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Треугольник ABC — прямоугольный.
• Угол C = 90°.
• Угол A = 30°.
• AC = 10 см.
• CD ⊥ AB (CD — высота).
• DE ⊥ AC (DE — перпендикуляр).

Найти: длину отрезка AE.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC:
• Угол A = 30°, Угол C = 90°, значит Угол B = 180° - 90° - 30° = 60°.
• Катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. У нас AC — катет, противолежащий углу B (60°), а BC — катет, противолежащий углу A (30°).
• Найдем BC: \( BC = AC / \sqrt{3} \) (поскольку \( \tan(30^\text{o}) = \frac{BC}{AC} \), то \( BC = AC \cdot \tan(30^\text{o}) = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \) см. Или, если через угол 60: \( AC = BC \cdot \tan(60^\text{o}) \), \( 10 = BC \cdot \sqrt{3} \), \( BC = \frac{10}{\sqrt{3}} \) см.
• Найдем гипотенузу AB: \( AB = AC / \cos(30^\text{o}) = 10 / (\sqrt{3}/2) = 10 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} \) см.
2. Рассмотрим треугольник ADE.
• Угол DAE = Угол BAC = 30°.
• Угол AED = 90° (по условию DE ⊥ AC).
• Значит, треугольник ADE — прямоугольный.
• В прямоугольном треугольнике ADE, катет DE противолежит углу 30°, а катет AE прилежит к углу 30°.
• Нам нужно найти AE. Мы знаем, что \( \tan(30^\text{o}) = \frac{DE}{AE} \) и \( \tan(30^\text{o}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
• Чтобы найти AE, нам нужно знать DE.
3. Рассмотрим треугольник ADC.
• CD — высота, проведенная из вершины прямого угла.
• В прямоугольном треугольнике ABC, Угол A = 30°, Угол B = 60°.
• Рассмотрим треугольник ADC: Угол ADC = 90°, Угол CAD = 30°. Значит, Угол ACD = 180° - 90° - 30° = 60°.
• В прямоугольном треугольнике ADC, катет CD противолежит углу 30° (т.е. углу A), а катет AD прилежит к углу 30°.
• Гипотенуза в треугольнике ADC — это AC = 10 см.
• Найдем AD: \( AD = AC \times \text{cos}(30^\text{o}) = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.
• Найдем CD: \( CD = AC \times \text{sin}(30^\text{o}) = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \) см.
4. Теперь вернемся к треугольнику ADE.
• Мы знаем, что DE ⊥ AC. Точка D лежит на AB, точка E лежит на AC.
• Мы также знаем, что CD ⊥ AB.
• Треугольники CDE и CAB подобны? Нет.
• Рассмотрим параллельность. DE || CD? Нет.
• DE ⊥ AC и CD ⊥ AB.
• Рассмотрим треугольник ADE. Угол A = 30°, угол AED = 90°.
• Нам нужно найти AE.
• Мы знаем, что E лежит на AC.
• Важно: Точка E лежит на AC. DE ⊥ AC.
• Значит, в треугольнике ADE, угол A = 30°, угол E = 90°.
• Нам нужно найти AE.
• Катет AE прилежит к углу A.
• Что мы знаем про DE?
• Смотрим на подобие треугольников.
• Треугольник ABC подобен треугольнику ADC (по двум углам: угол A общий, угол ACB = угол ADC = 90°).
• Треугольник ABC подобен треугольнику CDB (по двум углам: угол B общий, угол ACB = угол CDB = 90°).
• Треугольник ADC подобен треугольнику CDB.
• В прямоугольном треугольнике ABC, \( \text{cos}(A) = \frac{AC}{AB} \) => \( \text{cos}(30^\text{o}) = \frac{10}{AB} \) => \( AB = \frac{10}{\cos(30^\text{o})} = \frac{10}{\sqrt{3}/2} = \frac{20}{\sqrt{3}} \).
• \( \text{sin}(A) = \frac{BC}{AB} \) => \( \text{sin}(30^\text{o}) = \frac{BC}{20/\sqrt{3}} \) => \( BC = \frac{20}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{\sqrt{3}} \).
• Теперь рассмотрим треугольник ADE. Он прямоугольный, с углом A = 30°.
• Нам нужно найти AE.
• Что такое точка E? DE ⊥ AC.
• Точка E — это проекция точки D на прямую AC.
• Мы знаем, что D лежит на AB.
• Итак, у нас есть треугольник ABC. Угол A=30, Угол C=90. AC=10.
• CD ⊥ AB.
• DE ⊥ AC.
• E лежит на AC.
• Рассмотрим треугольник ADE. Угол A = 30°, угол AED = 90°.
• AE — это катет, прилежащий к углу A.
• DE — это катет, противолежащий углу A.
• AD — это гипотенуза для треугольника ADE.
• Мы уже нашли AD = 5√3.
• Значит, AE = AD * cos(30°) = (5√3) * (√3/2) = 5 * 3 / 2 = 15/2 = 7.5 см.

Ответ: AE = 7.5 см.