3). В прямоугольном треугольнике АВС \( \angle C = 90^{\circ}, \angle B = 30^{\circ}, BC = 18 \text{ см}, \text{СК} \perp AB, \text{КМ} \perp BC \). Найдите MB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). Следовательно, \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

По условию \( \text{КМ} \perp BC \). Так как \( \angle C = 90^{\circ} \), то CMKB — прямоугольник. Следовательно, \( \angle KMC = 90^{\circ} \), \( \angle MKC = 90^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \).

Также, \( \text{КМ} \parallel AC \) (так как обе перпендикулярны BC).

Рассмотрим треугольник ABC. По определению тангенса:

\( \text{tg B} = \frac{AC}{BC} \)

\( AC = BC \cdot \text{tg B} = 18 \cdot \text{tg} 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \).

Рассмотрим треугольник CKM. \( \angle KMC = 90^{\circ} \). \( \angle C = 90^{\circ} \) (это ошибка в рассуждении. KMC - не обязательно прямоугольник, а CMKB - четырехугольник.)

Вернемся к \( \text{КМ} \parallel AC \). Треугольники BKM и BAC подобны по двум углам (\( \angle B \) — общий, \( \angle BKM = \angle BAC = 60^{\circ} \)).

Из подобия \( \frac{BK}{BA} = \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC} \).

Из \( \text{КМ} \perp BC \), \( \text{KM} \parallel AC \). Также \( \text{СК} \perp AB \). В прямоугольном треугольнике ABC, СК — высота.

Рассмотрим треугольник CBM. \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \). \( \text{КМ} \perp BC \). Это означает, что KM параллельно AC.

Из подобия треугольников \( \triangle BKM \sim \triangle BAC \):

\( \frac{BM}{BC} = \frac{BK}{BA} = \frac{KM}{AC} \).

Нам нужно найти MB. Мы знаем \( BC = 18 \text{ см} \).

Из \( \angle B = 30^{\circ} \) в \( \triangle ABC \), \( \text{tg } 30^{\circ} = \frac{AC}{BC} \), \( AC = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ см} \).

\( \text{cos B} = \frac{BC}{AB} \), \( AB = \frac{BC}{\text{cos } 30^{\circ}} = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \text{ см} \).

В прямоугольном треугольнике KMC, \( \angle KMC = 90^{\circ} \). \( \text{KM} \parallel AC \). \( \angle BKМ = \angle BAC = 60^{\circ} \).

Поскольку \( \text{КМ} \perp BC \), то \( \angle KMB = 90^{\circ} \). Это означает, что \( \triangle KMB \) — прямоугольный.

В \( \triangle KMB \), \( \angle B = 30^{\circ} \).

\( \text{cos B} = \frac{MB}{BK} \).

Из подобия \( \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC} = \frac{BK}{AB} \).

Из \( \text{КМ} \perp BC \) и \( \angle B = 30^{\circ} \) в \( \triangle CBM \), \( CM = BM \cdot \text{tg } 30^{\circ} \).

Учитывая, что \( \text{КМ} \parallel AC \), и \( \text{КМ} \perp BC \), \( AC \perp BC \) (так как \( \angle C = 90^{\circ} \)), то CMKB является прямоугольником.

\( CM = BK \) и \( KM = BC = 18 \text{ см} \). Но это неверно.

Правильное рассуждение:

Так как \( \text{КМ} \perp BC \) и \( \angle C = 90^{\circ} \), то \( \text{KM} \parallel AC \).

Треугольник ABC прямоугольный. \( \angle B = 30^{\circ} \). \( BC = 18 \text{ см} \).

В прямоугольном \( \triangle ABC \):

\( \text{cos } 30^{\circ} = \frac{BC}{AB} \) \(\implies\) \( AB = \frac{BC}{\text{cos } 30^{\circ}} = \frac{18}{\sqrt{3}/2} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3} \text{ см} \).

\( \text{tg } 30^{\circ} = \frac{AC}{BC} \) \(\implies\) \( AC = BC \cdot \text{tg } 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \text{ см} \).

Рассмотрим \( \triangle BKM \). \( \angle B = 30^{\circ} \). \( \text{КМ} \perp BC \), значит \( \angle BKM = 90^{\circ} \).

Это неверно. \( \text{КМ} \perp BC \), \( \angle B \) — общий. \( \angle BKМ = \angle BAC = 60^{\circ} \).

Поскольку \( \text{КМ} \parallel AC \), то \( \triangle BKM \sim \triangle BAC \).

Отношение подобия \( k = \frac{BM}{BC} = \frac{BK}{BA} = \frac{KM}{AC} \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle KMC = 90^{\circ} \). \( \text{KM} \parallel AC \). \( \angle KCM = 90^{\circ} \).

Четырехугольник CMKB является прямоугольником, так как \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle KMC = 90^{\circ} \), \( \angle CKM = 90^{\circ} \) (не доказано), \( \angle KBC = 90^{\circ} \) (неверно).

Если \( \text{КМ} \perp BC \) и \( AC \perp BC \) (из \( \angle C = 90^{\circ} \)), то \( \text{KM} \parallel AC \).

Рассмотрим \( \triangle KMC \). \( \angle KMC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle BKM \). \( \angle B = 30^{\circ} \). \( \angle BKM = 90^{\circ} \).

Тогда \( \text{cos } 30^{\circ} = \frac{MB}{BK} \).

Из подобия \( \triangle BKM \sim \triangle BAC \): \( \frac{BM}{BC} = \frac{BK}{AB} \).

\( BM = BC \cdot \frac{BK}{AB} \).

Рассмотрим \( \triangle CBM \). \( \angle C = 90^{\circ} \). \( \text{KM} \perp BC \).

В \( \triangle KMC \), \( \angle KMC = 90^{\circ} \).

Поскольку \( \text{KM} \parallel AC \), то \( \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC} \).

В \( \triangle BKМ \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle BKM = 90^{\circ} \).

\( \tan 30^{\circ} = \frac{KM}{BM} \).

\( KM = BM \tan 30^{\circ} = \frac{BM}{\sqrt{3}} \).

Из \( \text{KM} \parallel AC \), \( \triangle BKM \sim \triangle BAC \). Следовательно, \( \frac{KM}{AC} = \frac{BM}{BC} \).

\( \frac{BM/\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{BM}{18} \).

\( \frac{BM}{18} = \frac{BM}{18} \). Это тождество, не помогает.

Рассмотрим \( \triangle BKC \). \( \angle BKC = 90^{\circ} \) (так как \( \text{СК} \perp AB \)).

В \( \triangle BKC \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle BKC = 90^{\circ} \).

\( \text{cos } 30^{\circ} = \frac{BK}{BC} \)

\( BK = BC \cdot \text{cos } 30^{\circ} = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle KMC \). \( \angle KMC = 90^{\circ} \). \( \text{KM} \parallel AC \).

В \( \triangle BKМ \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( \angle BKМ = 90^{\circ} \). Значит \( \angle KBM = 90^{\circ} \).

Если \( \text{KM} \perp BC \), то \( \angle KMB = 90^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle KMB \), \( \angle B = 30^{\circ} \).

\( \tan 30^{\circ} = \frac{KM}{MB} \).

\( MB = \frac{KM}{\tan 30^{\circ}} = KM \sqrt{3} \).

Из подобия \( \frac{KM}{AC} = \frac{BM}{BC} \).

\( \frac{KM}{6\sqrt{3}} = \frac{BM}{18} \).

\( KM = \frac{6\sqrt{3} \cdot BM}{18} = \frac{\sqrt{3} BM}{3} \).

Подставляем в \( MB = KM \sqrt{3} \):

\( MB = \frac{\sqrt{3} BM}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{3 BM}{3} = BM \). Это снова тождество.

Вернемся к \( \triangle BKC \). \( \text{СК} \perp AB \), \( \angle B = 30^{\circ} \), \( BC = 18 \text{ см} \).

\( \text{cos } 30^{\circ} = \frac{BK}{BC} \) \(\implies\) \( BK = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см} \).

\( \text{sin } 30^{\circ} = \frac{CK}{BC} \) \(\implies\) \( CK = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \text{ см} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle KMC \). \( \angle KMC = 90^{\circ} \) (по построению \( \text{КМ} \perp BC \)).

\( \text{KM} \parallel AC \).

В \( \triangle ABC \), \( \angle A = 60^{\circ} \).

Из \( \text{KM} \parallel AC \), \( \angle BKM = \angle BAC = 60^{\circ} \).

В \( \triangle KMC \): \( \angle KCM = 90^{\circ} \) (условие \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \text{KM} \perp BC \)).

\( \angle CKМ = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В \( \triangle KMC \): \( \tan 60^{\circ} = \frac{KM}{MC} \).

\( \tan 30^{\circ} = \frac{KM}{CK} \).

\( KM = CK \tan 30^{\circ} = 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \text{ см} \).

\( MC = \frac{KM}{\tan 60^{\circ}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \text{ см} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle KMB \). \( \text{KM} \perp BC \). \( \angle KMB = 90^{\circ} \).

\( MB = MC + CB \) или \( MB = CB - CM \). Так как M лежит на BC, то \( MB = CB - CM \).

\( MB = 18 - 3 = 15 \text{ см} \).

Ответ: 15 см.