3. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) биссектрисы CD и АЕ пересекаются в точке О. ∠AOC = 105°. Найдите острые углы треугольника АВС.

Краткая запись:

• Треугольник ABC — прямоугольный, ∠C = 90°.
• CD — биссектриса угла C.
• AE — биссектриса угла A.
• CD и AE пересекаются в точке O.
• ∠AOC = 105°.
• Найти: острые углы A и B.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим величину углов, образованных биссектрисами.
• CD — биссектриса ∠C, значит ∠ACD = ∠BCD = ∠C / 2 = 90° / 2 = 45°.
• AE — биссектриса ∠A, значит ∠CAE = ∠BAE = ∠A / 2.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник AOC.
• Сумма углов в треугольнике AOC равна 180°: ∠OAC + ∠OCA + ∠AOC = 180°.
• Мы знаем ∠AOC = 105°.
• ∠OAC — это половина угла A (∠A/2), так как AE — биссектриса.
• ∠OCA — это половина угла C (∠C/2), равная 45°, так как CD — биссектриса.
3. Шаг 3: Подставим известные значения в уравнение суммы углов треугольника AOC.
• (∠A / 2) + 45° + 105° = 180°
• ∠A / 2 + 150° = 180°
• ∠A / 2 = 180° - 150°
• ∠A / 2 = 30°
• ∠A = 2 * 30°
• Угол A = 60°
4. Шаг 4: Найдем угол B.
• В прямоугольном треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• 60° + ∠B + 90° = 180°
• ∠B + 150° = 180°
• ∠B = 180° - 150°
• Угол B = 30°

Ответ: Острые углы треугольника ABC равны 60° и 30°.