4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Краткая запись:

• Внешний угол 1 = 2 * Внешний угол 2
• Внутренний угол, не смежный с ними (пусть будет ∠B) = 45°.
• Найти: Разность между внешними углами.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим внешний угол, смежный с ∠B.
• Пусть ∠B = 45°. Тогда смежный с ним внешний угол равен 180° - 45° = 135°.
2. Шаг 2: Свяжем внешние углы с внутренними.
• Пусть внешний угол 1 (обозначим его Ext1) и внешний угол 2 (Ext2) являются внешними углами к внутренним углам A и C соответственно.
• Значит, Ext1 = ∠A + ∠B и Ext2 = ∠A + ∠C.
• Или, Ext1 = ∠A + 45°, Ext2 = ∠A + ∠C.
3. Шаг 3: Используем условие, что один внешний угол в два раза больше другого.
• Вариант 1: Ext1 = 2 * Ext2
• (∠A + 45°) = 2 * (∠A + ∠C)
• ∠A + 45° = 2∠A + 2∠C
• 45° - 2∠C = ∠A
• Вариант 2: Ext2 = 2 * Ext1
• (∠A + ∠C) = 2 * (∠A + 45°)
• ∠A + ∠C = 2∠A + 90°
• ∠C - 90° = ∠A
4. Шаг 4: Воспользуемся суммой углов треугольника: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• ∠A + 45° + ∠C = 180°, следовательно, ∠A + ∠C = 135°.
5. Шаг 5: Подставим ∠A = 135° - ∠C в уравнения из Шага 3.
• Из Варианта 1:
• 45° - 2∠C = 135° - ∠C
• 45° - 135° = 2∠C - ∠C
• -90° = ∠C. Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным.
• Из Варианта 2:
• ∠C - 90° = 135° - ∠C
• ∠C + ∠C = 135° + 90°
• 2∠C = 225°
• ∠C = 225° / 2 = 112.5° (Это тоже невозможно, так как это внутренний угол треугольника, и сумма двух внутренних углов уже 45° + 112.5° = 157.5°, что в сумме с третьим углом (который должен быть положительным) превысит 180°).
6. Шаг 6: Пересмотрим начальные предположения. Возможно, ∠B не является углом, не смежным с обоими внешними углами.
• Пусть внешние углы Ext1 и Ext2 смежны с внутренними углами A и C соответственно. Тогда внутренний угол, не смежный с ними, это ∠B = 45°.
• Ext1 = ∠B + ∠C = 45° + ∠C
• Ext2 = ∠A + ∠B = ∠A + 45°
7. Шаг 7: Применим условие Ext1 = 2 * Ext2 (или наоборот).
• Случай 1: Ext1 = 2 * Ext2
• 45° + ∠C = 2 * (∠A + 45°)
• 45° + ∠C = 2∠A + 90°
• ∠C - 2∠A = 45°
• Случай 2: Ext2 = 2 * Ext1
• ∠A + 45° = 2 * (45° + ∠C)
• ∠A + 45° = 90° + 2∠C
• ∠A - 2∠C = 45°
8. Шаг 8: Используем сумму внутренних углов: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
• ∠A + 45° + ∠C = 180°
• ∠A + ∠C = 135°
9. Шаг 9: Решаем систему уравнений.
• Из Случая 1:
• ∠C - 2∠A = 45°
• ∠A + ∠C = 135° => ∠C = 135° - ∠A
• Подставляем ∠C: (135° - ∠A) - 2∠A = 45°
• 135° - 3∠A = 45°
• 3∠A = 135° - 45°
• 3∠A = 90°
• ∠A = 30°
• Тогда ∠C = 135° - 30° = 105°
• Из Случая 2:
• ∠A - 2∠C = 45°
• ∠A + ∠C = 135° => ∠A = 135° - ∠C
• Подставляем ∠A: (135° - ∠C) - 2∠C = 45°
• 135° - 3∠C = 45°
• 3∠C = 135° - 45°
• 3∠C = 90°
• ∠C = 30°
• Тогда ∠A = 135° - 30° = 105°

Мы получили два возможных набора углов треугольника: (A=30°, B=45°, C=105°) или (A=105°, B=45°, C=30°). Оба случая удовлетворяют условиям.

10. Шаг 10: Находим внешние углы и их разность.
• Если A=30°, C=105°:
• Ext1 (смежный с C) = 45° + 30° = 75°
• Ext2 (смежный с A) = 45° + 105° = 150°
• Проверка: 150° = 2 * 75°. Условие выполнено.
• Разность: 150° - 75° = 75°.
• Если A=105°, C=30°:
• Ext1 (смежный с C) = 45° + 105° = 150°
• Ext2 (смежный с A) = 45° + 30° = 75°
• Проверка: 150° = 2 * 75°. Условие выполнено.
• Разность: 150° - 75° = 75°.

Ответ: Разность между внешними углами равна 75°.