3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН. АС=8. Найдите длину отрезка АН, если ДАВС = 30°.

Задание 3. Прямоугольный треугольник и высота

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^\circ \).
• Высота CH.
• AC = 8.
• \( \angle A = 30^\circ \).

Найти: AH.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle A = 30^\circ \).
2. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Следовательно, BC = AC / 2.
3. BC = 8 / 2 = 4.
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём \( \angle A = 30^\circ \) и \( \angle AHC = 90^\circ \).
5. Катет AH лежит против угла C (\( \angle ACH \)).
6. Сначала найдём \( \angle ACH \) в треугольнике ACH. \( \angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
7. В прямоугольном треугольнике ACH, гипотенуза AC = 8.
8. Катет AH лежит против угла C. Мы можем использовать тригонометрию: \( \cos(A) = \frac{AH}{AC} \).
9. \( AH = AC \cdot \cos(A) \)
10. \( AH = 8 \cdot \cos(30^\circ) \)
11. \( AH = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)
12. \( AH = 4\sqrt{3} \)

Ответ: \( 4\sqrt{3} \).