3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН, причем CH = 8 см, ∠ В = 45°. Найдите гипотенузу АВ.

Решение:

Дано: \( \Delta ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( CH \) — высота, \( CH = 8 \) см, \( \angle B = 45^{\circ} \).

Найти: \( AB \).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \Delta ABC \).
2. Сумма углов в \( \Delta ABC \) равна \( 180^{\circ} \).
3. \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \).
4. \( \angle A + 45^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
5. \( \angle A + 135^{\circ} = 180^{\circ} \).
6. \( \angle A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).
7. Так как \( \angle A = \angle B = 45^{\circ} \), то \( \Delta ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, и \( AC = BC \).
8. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \Delta CHB \).
9. \( \angle CHB = 90^{\circ} \) (так как CH — высота).
10. \( \angle B = 45^{\circ} \) (дано).
11. \( \angle BCH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
12. Так как \( \angle B = \angle BCH = 45^{\circ} \), то \( \Delta CHB \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, и \( CH = HB \).
13. Следовательно, \( HB = 8 \) см.
14. В прямоугольном треугольнике \( \Delta CHB \) найдем гипотенузу \( BC \) по теореме Пифагора: \( BC^2 = CH^2 + HB^2 \).
15. \( BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \).
16. \( BC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \) см.
17. Так как \( \Delta ABC \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, то \( AC = BC = 8\sqrt{2} \) см.
18. Найдем гипотенузу \( AB \) по теореме Пифагора в \( \Delta ABC \): \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
19. \( AB^2 = (8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2 = 128 + 128 = 256 \).
20. \( AB = \sqrt{256} = 16 \) см.
21. Альтернативный способ:
22. В прямоугольном \( \Delta ABC \), \( \angle B = 45^{\circ} \).
23. \(  \cos B = \frac{BC}{AB} \) или \(  \sin B = \frac{AC}{AB} \).
24. Мы нашли, что \( BC = 8\sqrt{2} \) см.
25. \( \cos 45^{\circ} = \frac{8\sqrt{2}}{AB} \).
26. \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{AB} \).
27. \( AB = \frac{8\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 16 \) см.
28. Еще проще:
29. В прямоугольном \( \Delta CHB \), \( \angle B = 45^{\circ} \), \( CH = 8 \) см. \( CH \) — противолежащий катет к углу \( B \).
30. \(  \sin B = \frac{CH}{BC} \).
31. \( \sin 45^{\circ} = \frac{8}{BC} \).
32. \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8}{BC} \).
33. \( BC = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \) см.
34. В прямоугольном \( \Delta ABC \), \( \angle B = 45^{\circ} \), \( BC = 8\sqrt{2} \) см. \( BC \) — прилежащий катет к углу \( B \).
35. \(  \cos B = \frac{BC}{AB} \).
36. \( \cos 45^{\circ} = \frac{8\sqrt{2}}{AB} \).
37. \( \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{AB} \).
38. \( AB = 16 \) см.

Ответ: \( AB = 16 \) см.