3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН, причем СН = 8 см, ∠B = 45°. Найдите гипотенузу АВ.

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^{\circ}\), \( CH \) — высота, \( CH = 8 \) см, \(\angle B = 45^{\circ}\).

Найти: \( AB \).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle CHB\).
2. \(\angle CHB = 90^{\circ}\) (так как \( CH \) — высота).
3. \(\angle B = 45^{\circ}\) (по условию).
4. Сумма углов в \(\triangle CHB\) равна \( 180^{\circ} \): \(\angle BCH + \angle CHB + \angle B = 180^{\circ}\).
5. \(\angle BCH + 90^{\circ} + 45^{\circ} = 180^{\circ}\).
6. \(\angle BCH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\).
7. Так как \(\angle B = \angle BCH = 45^{\circ}\), то \(\triangle CHB\) — равнобедренный прямоугольный треугольник.
8. Следовательно, \( BH = CH = 8 \) см.
9. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\).
10. \(\angle C = 90^{\circ}\) (по условию).
11. \(\angle B = 45^{\circ}\) (по условию).
12. Сумма углов в \(\triangle ABC\) равна \( 180^{\circ} \): \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}\).
13. \(\angle A + 45^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\).
14. \(\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\).
15. Так как \(\angle B = \angle A = 45^{\circ}\), то \(\triangle ABC\) — равнобедренный прямоугольный треугольник.
16. Следовательно, \( AC = BC \).
17. В прямоугольном треугольнике \(\triangle CHB\) используем теорему Пифагора: \( BC^2 = CH^2 + BH^2 \).
18. \( BC^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128 \).
19. \( BC = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2} \) см.
20. Так как \( AB \) — гипотенуза в \(\triangle ABC\), и \( \triangle ABC \) — равнобедренный прямоугольный, то \( AB = BC \cdot \sqrt{2} \) (или \( AB = AC \cdot \sqrt{2} \)).
21. \( AB = 8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 \cdot 2 = 16 \) см.
22. Альтернативный способ: в прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\), \(\angle B = 45^{\circ}\). \( CH \) — высота.
23. В \(\triangle ABC\), \(\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}\).
24. Таким образом, \(\triangle ABC\) — равнобедренный прямоугольный треугольник, \( AC = BC \).
25. В \(\triangle CHB\), \(\angle B = 45^{\circ}\) и \(\angle CHB = 90^{\circ}\), значит \(\angle BCH = 45^{\circ}\). \(\triangle CHB\) — равнобедренный прямоугольный, \( CH = BH = 8 \) см.
26. В \(\triangle ACH\), \(\angle A = 45^{\circ}\) и \(\angle CHA = 90^{\circ}\), значит \(\angle ACH = 45^{\circ}\). \(\triangle ACH\) — равнобедренный прямоугольный, \( CH = AH = 8 \) см.
27. Гипотенуза \( AB = AH + BH = 8 + 8 = 16 \) см.

Ответ: \( AB = 16 \) см.