3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена высота СН, причем СН = 8 см, ∠B = 45°. Найдите гипотенузу АВ.

Краткое пояснение:

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, отсекает два подобных треугольника, подобных исходному. Также можно использовать тригонометрические соотношения.

Решение:

Дано:

• Δ ABC - прямоугольный
• ∠ C = 90°
• CH - высота
• CH = 8 см
• ∠ B = 45°

Найти: AB (гипотенузу)

1. Рассмотрим Δ CHB:
   - Этот треугольник является прямоугольным, так как CH - высота, значит ∠ CHB = 90°.
   - Мы знаем ∠ B = 45° и ∠ CHB = 90°.
   - Сумма углов в Δ CHB равна 180°: ∠ BCH + ∠ CHB + ∠ B = 180°.
   - ∠ BCH + 90° + 45° = 180°.
   - ∠ BCH = 180° - 90° - 45° = 45°.
   - Так как ∠ B = ∠ BCH = 45°, то Δ CHB является равнобедренным прямоугольным треугольником с CH = HB.
2. Находим HB:
   - Поскольку CH = HB и CH = 8 см, то HB = 8 см.
3. Рассмотрим Δ ABC:
   - Мы знаем ∠ B = 45° и ∠ C = 90°.
   - Сумма углов в Δ ABC равна 180°: ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
   - ∠ A + 45° + 90° = 180°.
   - ∠ A = 180° - 90° - 45° = 45°.
   - Так как ∠ A = ∠ B = 45°, то Δ ABC является равнобедренным прямоугольным треугольником с AC = CB.
4. Используем тригонометрию для нахождения AB:
   - В прямоугольном треугольнике Δ CHB, где CH - противолежащий катет к углу ∠ B, а HB - прилежащий катет.
   - Мы знаем, что tan(B) = CH / HB. В нашем случае, tan(45°) = 1, что подтверждает CH = HB.
   - Теперь рассмотрим Δ ABC. Катет CB противолежит углу ∠ A, а катет AC противолежит углу ∠ B.
   - Мы знаем ∠ B = 45° и хотим найти гипотенузу AB. Связь между противолежащим катетом (AC) и гипотенузой (AB) дает синус: sin(B) = AC / AB.
   - Связь между прилежащим катетом (CB) и гипотенузой (AB) дает косинус: cos(B) = CB / AB.
   - Так как Δ ABC равнобедренный, AC = CB.
   - Используем отношение тангенса для нахождения CB (или AC):
   tan(B) = AC / CB. Так как AC = CB, это не дает информации.
   - Используем соотношение катета и гипотенузы:
   sin(45°) = AC / AB. Мы не знаем AC.
   cos(45°) = CB / AB. Мы не знаем CB.
   - Вернемся к Δ CHB. У нас есть CH = 8 см и ∠ B = 45°. В этом треугольнике CH - противолежащий катет к углу B, а HB - прилежащий.
   sin(45°) = CH / CB. Здесь CB - гипотенуза Δ CHB, а не Δ ABC.
   cos(45°) = HB / CB.
   - Давайте найдем CB, используя Δ CHB. В Δ CHB, CH = 8 см, ∠ B = 45°. CB — это гипотенуза Δ CHB.
   sin(B) = CH / CB
   sin(45°) = 8 / CB
   (√2 / 2) = 8 / CB
   CB = 8 / (√2 / 2) = 16 / √2 = 16√2 / 2 = 8√2 см.
   - Теперь, зная CB (который также является катетом AC в Δ ABC), можем найти гипотенузу AB.
   cos(B) = CB / AB
   cos(45°) = 8√2 / AB
   (√2 / 2) = 8√2 / AB
   AB = (8√2) / (√2 / 2) = 8√2 * (2 / √2) = 16 см.
5. Альтернативный способ через подобие:
   - Δ ABC ~ Δ CBH ~ Δ ACH.
   - Из Δ CHB: ∠ BCH = 45°, CH = HB = 8 см.
   - Из Δ ABC: ∠ A = 45°, ∠ B = 45°, значит AC = CB.
   - Так как CB = 8√2 см (из предыдущего шага), то AC = 8√2 см.
   - По теореме Пифагора для Δ ABC: AB² = AC² + CB²
   AB² = (8√2)² + (8√2)²
   AB² = (64 * 2) + (64 * 2)
   AB² = 128 + 128
   AB² = 256
   AB = √256 = 16 см.

Ответ: 16 см