3. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°. Расстояние между основанием высоты, проведенной к гипотенузе, и вершиной данного острого угла равно 6 см. Найдите расстояние между основанием высоты и вершиной другого острого угла данного треугольника.

Краткая запись:

• ┸ABC
• ∠C = 90°
• ∠A = 60° (или ∠B = 60°)
• CH - высота к гипотенузе
• HC = 6 см
• Найти: HB (если ∠A = 60°) или HA (если ∠B = 60°)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть в ┸ABC ∠C = 90°. Пусть ∠A = 60°, тогда ∠B = 30°. CH - высота, проведенная к гипотенузе AB.
2. Шаг 2: Рассмотрим ┸AHC. В нем ∠AHC = 90°. Угол ∠A = 60°. Тогда ∠ACH = 90° - 60° = 30°.
3. Шаг 3: По условию, расстояние между основанием высоты (H) и вершиной данного острого угла (A) равно 6 см. Это означает, что AH = 6 см.
4. Шаг 4: Теперь рассмотрим ┸BHC. В нем ∠BHC = 90°. Угол ∠B = 30°. Тогда ∠BCH = 90° - 30° = 60°.
5. Шаг 5: Нам нужно найти расстояние между основанием высоты (H) и вершиной другого острого угла (∠B). Это расстояние равно HB.
6. Шаг 6: Мы знаем, что ┸AHC и ┸BHC подобны исходному ┸ABC. Также, ┸AHC ~ ┸BHC.
7. Шаг 7: Из подобия ┸AHC и ┸BHC следует отношение сторон: \( \frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH} \).
8. Шаг 8: Подставим известные значения: \( \frac{6}{CH} = \frac{CH}{BH} \).
9. Шаг 9: Из ┸AHC, используя тангенс угла A: \( Тан(∠A) = \frac{CH}{AH} \) \( Тан(60°) = \frac{CH}{6} \) \( √{3} = \frac{CH}{6} \) \( CH = 6√{3} \) см.
10. Шаг 10: Теперь подставим значение CH в соотношение из Шага 8: \( \frac{6}{6√{3}} = \frac{6√{3}}{BH} \) \( \frac{1}{√{3}} = \frac{6√{3}}{BH} \) \( BH = 6√{3} √{3} = 6 √{3}^2 = 6 · 3 = 18 \) см.

Ответ: 18 см