3. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Боковые стороны трапеции равны 15 см и 17 см. Найдите длину диагонали трапеции.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB — высота, BC и AD — основания, CD — боковая сторона, равная 17 см. В трапецию вписана окружность, значит, сумма противолежащих сторон равна: \( AB + CD = BC + AD \).

По условию, одна из боковых сторон равна 15 см, а другая — 17 см. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой, а другая — наклонная боковая сторона. Следовательно, высота \( AB = 15 \) см, а наклонная боковая сторона \( CD = 17 \) см.

Теперь найдём сумму оснований:

\[ BC + AD = AB + CD = 15 \text{ см} + 17 \text{ см} = 32 \text{ см} \]

Для нахождения диагонали, например AC, проведём высоту из вершины C к основанию AD. Опустим перпендикуляр CE из C на AD. Тогда CE = AB = 15 см. Четырёхугольник ABCE является прямоугольником, значит, BC = AE.

Из \( BC + AD = 32 \) см и \( AE = BC \) следует, что \( AD = ED + AE = ED + BC \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CDE. У него катет \( CE = 15 \) см, гипотенуза \( CD = 17 \) см. Найдём второй катет DE по теореме Пифагора:

\[ DE^2 = CD^2 - CE^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \]

\[ DE = \sqrt{64} = 8 \) см.

Теперь найдём основания:

\[ AD = AE + DE = BC + 8 \]

Подставим это в уравнение для суммы оснований:

\[ BC + (BC + 8) = 32 \]

\[ 2BC + 8 = 32 \]

\[ 2BC = 24 \]

\[ BC = 12 \) см.

Тогда \( AD = BC + 8 = 12 + 8 = 20 \) см.

Теперь найдём длину диагонали AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACE. Катеты равны \( AE = BC = 12 \) см и \( CE = 15 \) см.

По теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AE^2 + CE^2 = 12^2 + 15^2 = 144 + 225 = 369 \]

\[ AC = \(\sqrt{369}\) = \(\sqrt{9 \cdot 41}\) = 3\(\sqrt{41}\) \) см.

Ответ: \( 3\sqrt{41} \) см.