3. В прямоугольный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 15 см. Найдите периметр и площадь треугольника, если его гипотенуза равна 85 см.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника, \( c \) — гипотенуза. Радиус вписанной окружности \( r = 15 \) см, гипотенуза \( c = 85 \) см.

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике связан с катетами и гипотенузой формулой \( r = \frac{a + b - c}{2} \).

1. Найдём сумму катетов: \( a + b = 2r + c = 2 \cdot 15 + 85 = 30 + 85 = 115 \) см.
2. Периметр треугольника \( P = a + b + c = 115 + 85 = 200 \) см.
3. Площадь прямоугольного треугольника \( S = \frac{1}{2}ab \).
4. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 = 85^2 = 7225 \).
5. Возведём в квадрат сумму катетов: \( (a + b)^2 = 115^2 \). \( a^2 + 2ab + b^2 = 13225 \).
6. Подставим \( a^2 + b^2 = 7225 \): \( 7225 + 2ab = 13225 \).
7. \( 2ab = 13225 - 7225 = 6000 \).
8. \( ab = 3000 \).
9. Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3000 = 1500 \) см\(^2\).

Ответ: Периметр треугольника равен 200 см, площадь треугольника равна 1500 см\(^2\).