3. В прямоугольный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 15 см. Найдите периметр и площадь треугольника, если его гипотенуза равна 85 см.

Решение:

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \), гипотенузу как \( c \). Известно, что \( c = 85 \) см и радиус вписанной окружности \( r = 15 \) см.

1. Периметр треугольника (P).

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: \( r = \frac{a + b - c}{2} \).

Подставим известные значения:

\[ 15 \text{ см} = \frac{a + b - 85 \text{ см}}{2} \]

\[ 30 \text{ см} = a + b - 85 \text{ см} \]

\[ a + b = 30 \text{ см} + 85 \text{ см} = 115 \text{ см} \]

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\[ P = a + b + c = 115 \text{ см} + 85 \text{ см} = 200 \text{ см} \]

2. Площадь треугольника (S).

Площадь прямоугольного треугольника равна \( S = \frac{1}{2} ab \).

Мы знаем, что \( a + b = 115 \). Возведём обе части в квадрат:

\[ (a + b)^2 = 115^2 \]

\[ a^2 + 2ab + b^2 = 13225 \]

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\[ a^2 + b^2 = 85^2 = 7225 \]

Подставим это в уравнение:

\[ 7225 + 2ab = 13225 \]

\[ 2ab = 13225 - 7225 \]

\[ 2ab = 6000 \]

Теперь найдём площадь:

\[ S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{4} (2ab) = \frac{1}{4} (6000 \text{ см}^2) = 1500 \text{ см}^2 \]

Ответ: Периметр треугольника равен 200 см, площадь треугольника равна 1500 см².