3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка О. Докажите равенство треугольников АМО и СМО.

Дано:

\( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC \) — основание.

\( BM \) — медиана.

\( O \) — точка на \( BM \).

Доказать:

\( \triangle AMO = \triangle CMO \).

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \) и \( BM \) — медиана, то \( BM \) также является высотой и биссектрисой.
2. Следовательно, \( BM \perp AC \), то есть \( \angle BMA = \angle BMC = 90^{\circ} \).
3. Также \( AM = MC \), так как \( BM \) — медиана.
4. Рассмотрим \( \triangle AMO \) и \( \triangle CMO \):
• \( AM = MC \) (из п. 3).
• \( MO \) — общая сторона.
• \( \angle AMO = \angle CMO = 90^{\circ} \) (из п. 2).
5. По двум катетам и общей гипотенузе (или по двум сторонам и углу между ними, если рассматривать \( \angle AMO \) и \( \angle CMO \) как катеты, а \( AO \) и \( CO \) как гипотенузы, что неверно, правильнее по двум катетам, так как \( BM \) высота) или по первому признаку равенства прямоугольных треугольников (если рассматривать \( \triangle AMO \) и \( \triangle CMO \) как прямоугольные с прямым углом \( \angle AMO \) и \( \angle CMO \), то \( AM = MC \) — катеты, \( MO \) — общий катет), \( \triangle AMO = \triangle CMO \).
6. Более строго: по двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников), так как \( AM = MC \), \( \angle AMO = \angle CMO \) (прямые углы, так как \( BM \) — высота), и \( MO \) — общая сторона.

Доказано.