3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины С, равна 18. Найдите длину стороны ВС.

Решение:

1. Анализ треугольника ABC: Треугольник ABC равнобедренный с основанием BC. Угол A = 120°. Углы B и C равны (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°.
2. Рассмотрим треугольник, образованный высотой: Пусть CD — высота, проведенная из вершины C к основанию AB (так как основание BC, то высота будет к стороне AB, если ABC равнобедренный с основанием BC). Однако, в условии сказано "основанием ВС". Это значит, что AB = AC. Тогда углы B и C равны 30°, а угол А = 120°. Это противоречие, так как сумма углов треугольника будет 120 + 30 + 30 = 180. Но в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если основание BC, то AB=AC. Угол A=120, углы B=C=30. Это возможно.
3. Переосмысление условия: Если основанием является BC, то AB = AC. Угол A = 120°, Угол B = Угол C = (180 - 120) / 2 = 30°. Высота, проведённая из вершины C, падает на сторону AB (или ее продолжение). Пусть эта высота будет CH. CH = 18.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHB: В треугольнике ABC, CH - высота. Угол CHB = 90°. Угол B = 30°.
5. Находим длину стороны BC: В прямоугольном треугольнике CHB, катет CH (18) лежит напротив угла B (30°). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
6. Вычисляем BC: CH = BC / 2. Следовательно, BC = 2 * CH = 2 * 18 = 36.
7. Проверка: Если BC = 36, то CH = 18. Угол B = 30°. Угол C = 30°. Это соответствует условию.

Ответ: 36