№ 3. В равнобедренной трапеции ABCD (BC ∥ AD, AB = CD) основания BC = 5 и AD = 8. Диагональ AC — биссектриса угла A. Найти периметр P.

Опустим из B и C перпендикуляры на основание AD. Из равнобедренности трапеции разность оснований распределяется поровну:

(8 − 5) : 2 = 1,5.

Обозначим высоту трапеции через h. Горизонтальная проекция AB равна 1,5, а проекция AC на AD равна 1,5 + 5 = 6,5.

Пусть угол A равен α. Поскольку AC — биссектриса, угол между AC и AD равен α/2. По прямоугольным треугольникам:

tan α = h / 1,5, а tan(α/2) = h / 6,5.

Для прямоугольного треугольника с катетами 1,5 и h длина AB равна √(1,5² + h²). Формула половинного угла даёт tan(α/2) = h / (AB + 1,5). Сравнивая это с h / 6,5, получаем AB + 1,5 = 6,5, то есть AB = 5.

Следовательно, CD = 5. Находим периметр:

P = 5 + 5 + 5 + 8 = 23.

Ответ: P = 23.