3) В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Решение:

Обозначим большее основание как \( a \), меньшее основание как \( b \), высоту как \( h \), и угол при основании как \( \alpha \).

Из рисунка видно:

• Большее основание \( a = 14 \).
• Высота \( h = 5 \).
• Угол при основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и частью большего основания, тангенс угла \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (части большего основания).

Пусть \( x \) — это часть большего основания, прилежащая к углу \( 45^{\circ} \).

\[ \tan(\alpha) = \frac{h}{x} \]

\[ \tan(45^{\circ}) = \frac{5}{x} \]

Так как \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), то:

\[ 1 = \frac{5}{x} \]

\[ x = 5 \]

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны.

\[ a = x + b + x \]

\[ 14 = 5 + b + 5 \]

\[ 14 = 10 + b \]

\[ b = 14 - 10 \]

\[ b = 4 \]

Меньшее основание трапеции равно 4.

Ответ: 4.