2) Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле (любой частный случай)

Теорема о вписанном угле:

Величина вписанного угла, опирающегося на дугу, равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Частный случай: Вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Теорема: Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым (равен 90°).

Доказательство:

1. Пусть \( ∠ABC \) — вписанный угол, опирающийся на диаметр \( AC \) окружности с центром \( O \).
2. \( AO \) и \( OC \) — радиусы окружности, следовательно, \( △AOC \) — равнобедренный с \( AO = OC \).
3. \( BO \) — также радиус, значит, \( △AOB \) и \( △BOC \) — равнобедренные треугольники.
4. В равнобедренном \( △AOB \) углы при основании равны: \( ∠BAC = ∠BCA \). Обозначим их как \( α \).
5. В равнобедренном \( △BOC \) углы при основании равны: \( ∠BCA = ∠BAC \). Обозначим их как \( β \).
6. Сумма углов в \( △ABC \) равна 180°: \( ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180° \).
7. Подставляем: \( α + β + ∠ABC = 180° \).
8. Центральный угол \( ∠AOC \) равен 180° (развёрнутый угол, т.к. \( AC \) — диаметр).
9. По теореме о вписанном угле, \( ∠ABC = \frac{1}{2} ∠AOC \).
10. \( ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC \).
11. В \( △ABC \), \( ∠BAC = α \), \( ∠BCA = β \).
12. \( ∠AOB = 180° - 2α \) (сумма углов треугольника \( △AOB \)).
13. \( ∠BOC = 180° - 2β \) (сумма углов треугольника \( △BOC \)).
14. \( ∠AOC = (180° - 2α) + (180° - 2β) = 360° - 2(α + β) \).
15. Так как \( AC \) — диаметр, \( ∠AOC = 180° \).
16. \( 180° = 360° - 2(α + β) \) → \( 2(α + β) = 180° \) → \( α + β = 90° \).
17. \( ∠ABC = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90° \).

Ответ: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.