№3. В равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом 6 вписан квадрат, меньшей стороной с треугольником общей угол. Найдите сторону квадрата.

Формулировка не уточняет, о каком угле треугольника говорится. Возможны два стандартных прочтения.

1. Квадрат имеет общую с треугольником вершину при прямом угле. Пусть сторона квадрата равна x. Его противоположная вершина лежит на гипотенузе. По подобию или уравнению гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника получаем x = 6 − x, откуда x = 3.

2. Квадрат имеет общую вершину с треугольником при остром угле. Если сторона квадрата, лежащая на катете, равна x, то противоположная сторона квадрата параллельна этому катету, а её верхняя вершина лежит на гипотенузе. Из подобия треугольников следует x = 6 − x/2, поэтому 3x/2 = 6 и x = 4.

Ответ: 3, если общий угол — прямой; 4, если общий угол — острый.