3. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность, касающаяся сторон в точках Е, М и К. Известно, что периметр треугольника равен 36 и AM = 6. Найти длину боковой стороны треугольника АВС.

Решение:

• Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Окружность вписана и касается сторон в точках E, M, K. AM = 6.
• По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны.
• Пусть точка касания на AB — M, на BC — E, на AC — K.
• Тогда AM = AK = 6.
• Так как треугольник равнобедренный, то точка K является серединой основания AC. Следовательно, AC = 2 * AK = 2 * 6 = 12.
• Периметр треугольника ABC равен 36. Периметр = AB + BC + AC.
• Так как треугольник равнобедренный, AB = BC.
• 36 = AB + AB + 12
• 36 = 2 * AB + 12
• 2 * AB = 36 - 12
• 2 * AB = 24
• AB = 12.
• Следовательно, боковая сторона AB (и BC) равна 12.

Ответ: 12