4. Величины углов в треугольнике АВС относятся как 4:8:12. Найти градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность?

Решение:

• Пусть углы треугольника ABC равны \( 4x \), \( 8x \) и \( 12x \).
• Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• \( 4x + 8x + 12x = 180^{\circ} \)
• \( 24x = 180^{\circ} \)
• \( x = \frac{180^{\circ}}{24} = 7,5^{\circ} \).
• Углы треугольника:
• \( \angle A = 4x = 4 \times 7,5^{\circ} = 30^{\circ} \)
• \( \angle B = 8x = 8 \times 7,5^{\circ} = 60^{\circ} \)
• \( \angle C = 12x = 12 \times 7,5^{\circ} = 90^{\circ} \)
• Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, равна удвоенной величине этого угла.
• Дуга BC (на которую опирается угол A): \( \text{arc}(BC) = 2 \times \angle A = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
• Дуга AC (на которую опирается угол B): \( \text{arc}(AC) = 2 \times \angle B = 2 \times 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
• Дуга AB (на которую опирается угол C): \( \text{arc}(AB) = 2 \times \angle C = 2 \times 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
• Проверка: \( 60^{\circ} + 120^{\circ} + 180^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: Дуги равны 60°, 120° и 180°.