3. В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон AB, BC, AC соответственно. Докажите, что BMKN — ромб.

Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\), отрезок \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\). Поэтому \(MN=\dfrac{AC}{2}\).

Поскольку \(K\) и \(M\) — середины сторон \(AC\) и \(AB\), отрезок \(MK\) — средняя линия, значит, \(MK=\dfrac{BC}{2}\). Аналогично, \(KN=\dfrac{AB}{2}\).

Из равносторонности треугольника \(AB=BC=AC\). Кроме того, \(BM=\dfrac{AB}{2}\) и \(BN=\dfrac{BC}{2}\), так как \(M,N\) — середины соответствующих сторон. Следовательно, \(BM=MK=KN=NB\). Четырёхугольник \(BMKN\) имеет все стороны равными, поэтому он является ромбом.