3) В тетраэдре DABC точки M, N и P — середины рёбер DA, DB, DC соответственно. а) Доказать, что плоскости (MNP) и (ABC) параллельны. б) Найти площадь ΔABC, если SΔMNP = 14 см2.

а) В треугольнике DAB точки M и N — середины DA и DB. По теореме о средней линии \(MN\parallel AB\).

Аналогично, в треугольнике DAC точки M и P — середины DA и DC, поэтому \(MP\parallel AC\).

Прямые MN и MP пересекаются в плоскости (MNP), а параллельные им AB и AC пересекаются в плоскости (ABC). Следовательно, плоскости параллельны: \((MNP)\parallel(ABC)\).

б) Поскольку M, N, P — середины трёх рёбер, треугольник MNP подобен ABC с коэффициентом подобия \(\frac12\). Отношение площадей равно квадрату коэффициента:

\(\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14\).

Значит, \(S_{ABC}=4\cdot14=56\text{ см}^2\).

Ответ: а) \((MNP)\parallel(ABC)\); б) \(56\text{ см}^2\).