3. В трапеции ABCD через вершину B проведена прямая BK, параллельная стороне CD. а) Докажите, что KBCD — параллелограмм; б) Найдите периметр трапеции, если BC = 4 см, P_ABK = 11 см.

а) По условию \(BK \parallel CD\). Кроме того, точки A, B, C, D — вершины трапеции ABCD, поэтому её основания параллельны: \(AD \parallel BC\). Так как K лежит на стороне AD, то \(KD \parallel BC\). Следовательно, в четырёхугольнике KBCD обе пары противоположных сторон параллельны: \(BK \parallel CD\) и \(KD \parallel BC\). Значит, KBCD — параллелограмм.

б) Для периметра используем разбиение сторон трапеции: \(P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA\). Из параллелограмма получаем \(CD=BK\) и \(KD=BC=4\) см. Поскольку K лежит на AD, \(DA=DK+KA=4+KA\). Тогда \(P_{ABCD}=AB+4+BK+(4+KA)=(AB+BK+KA)+8=P_{ABK}+8=11+8=19\) см.

Ответ: а) KBCD — параллелограмм; б) 19 см.