3. В трапеции ABCD диагональ BD [неразборчивое условие о перпендикулярности к боковой стороне]. ∠ADB = ∠BAC = 30°. Найти длину AD, если периметр трапеции равен 60 см.

Условие о перпендикулярности читается не вполне отчётливо. Если имеется в виду BD ⟂ AB, а AD ∥ BC, то решение следующее.

В прямоугольном треугольнике ABD угол B равен 90°, а угол D равен 30°. Поэтому AD — гипотенуза, AB = AD / 2, а угол BAD равен 60°.

Так как ∠BAC = 30° и луч AC лежит внутри угла BAD, то ∠CAD = 30°. Поскольку AD ∥ BC, получаем ∠ACB = 30°. Следовательно, в треугольнике ABC углы A и C равны, поэтому AB = BC. Значит, BC = AD / 2.

Из тех же угловых соотношений получается CD = AD / 2. Тогда периметр равен AD + AB + BC + CD = AD + 3 · AD / 2 = 60 см. Отсюда AD = 24 см.

Ответ при указанном прочтении условия: AD = 24 см. Если на доске указана другая боковая сторона или другое перпендикулярное отношение, пришлите этот фрагмент крупнее.