3) В трапеции ABCD основание AD = 3, BC = 7, AB = CD = 4. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Для решения задачи построим высоту трапеции и используем теорему Пифагора.

1. Построение:
   • Опустим высоты из вершин B и C на основание AD. Обозначим точки пересечения как E и F соответственно.
   • Так как трапеция равнобедренная (AB = CD), то AE = FD.
2. Расчет отрезков основания:
   • Длина основания AD = 7. Длина основания BC = 3.
   • EF = BC = 3.
   • AE + FD = AD - EF = 7 - 3 = 4.
   • Так как AE = FD, то AE = FD = 4 / 2 = 2.
3. Применение теоремы Пифагора:
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE.
   • AB = 4 (гипотенуза), AE = 2 (катет).
   • BE — высота трапеции (h).
   • По теореме Пифагора: AB² = AE² + BE².
   • 4² = 2² + h².
   • 16 = 4 + h².
   • h² = 16 - 4 = 12.
   • h = √12 = √(4 * 3) = 2√3.

Ответ: 2√3