3. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, AB = A₁B₁. Точки D и D₁ — середины отрезков AC и A₁C₁ соответственно. Докажите, что BD = B₁D₁.

Так как AB = A₁B₁ и углы при концах этих сторон равны, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому соответствующие стороны и элементы равны: AC = A₁C₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.

D и D₁ — середины соответствующих равных сторон AC и A₁C₁, значит, AD = A₁D₁. Угол BAD равен углу B₁A₁D₁, поскольку D лежит на AC, а D₁ — на A₁C₁.

Следовательно, △ABD = △A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними. Значит, соответствующие стороны BD и B₁D₁ равны.

Доказано: BD = B₁D₁.