3. В треугольнике ABC ∠A = α > 90°, ∠B = β. высота CD равна h. а) Найдите сторону АВ и радиус R описанной окружности. б) Вычислите значение R, если α = 135°, h = 3 см, β = 30°.

3. Решение:

а) Сторона АВ и радиус R:

В прямоугольном треугольнике ADC: \( \angle ACD = 90^{\circ} \), \( \angle CAD = 180^{\circ} - \alpha \) (так как \( \alpha > 90^{\circ} \)).

\( CD = AC \sin(180^{\circ} - \alpha) = AC \sin(\alpha) \Rightarrow AC = \frac{h}{\sin(\alpha)} \).

\( AD = AC \cos(180^{\circ} - \alpha) = AC (-\cos(\alpha)) = -\frac{h \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -h \cot(\alpha) \).

В прямоугольном треугольнике BDC: \( \angle CDB = 90^{\circ} \).

\( CD = BC \sin(\beta) \Rightarrow BC = \frac{h}{\sin(\beta)} \).

\( BD = BC \cos(\beta) = \frac{h \cos(\beta)}{\sin(\beta)} = h \cot(\beta) \).

\( AB = AD + BD = -h \cot(\alpha) + h \cot(\beta) = h (\cot(\beta) - \cot(\alpha)) \).

По теореме синусов для треугольника ABC:

\( \frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R \).

\( \angle C = 180^{\circ} - \alpha - \beta \).

\( \sin(\angle C) = \sin(180^{\circ} - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta) \).

\( 2R = \frac{h (\cot(\beta) - \cot(\alpha))}{\sin(\alpha + \beta)} \).

\( R = \frac{h (\cot(\beta) - \cot(\alpha))}{2 \sin(\alpha + \beta)} \).

б) Вычисление R:

Дано: \( \alpha = 135^{\circ} \), \( h = 3 \) см, \( \beta = 30^{\circ} \).

\( \cot(30^{\circ}) = \sqrt{3} \).

\( \cot(135^{\circ}) = -1 \).

\( \alpha + \beta = 135^{\circ} + 30^{\circ} = 165^{\circ} \).

\( \sin(165^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 15^{\circ}) = \sin(15^{\circ}) \).

\( \sin(15^{\circ}) = \sin(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(45^{\circ})\cos(30^{\circ}) - \cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \).

\( R = \frac{3 (\sqrt{3} - (-1))}{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}} = \frac{6 (\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{6 (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \).

\( R = \frac{6 (\sqrt{18} + \sqrt{6} + \sqrt{6} + \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{6 (3\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = \frac{6 (4\sqrt{2} + 2\sqrt{6})}{4} = \frac{12 (2\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4} = 3 (2\sqrt{2} + \sqrt{6}) \).

\( R = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} \) см.

Ответ: а) \( AB = h (\cot(\beta) - \cot(\alpha)) \), \( R = \frac{h (\cot(\beta) - \cot(\alpha))}{2 \sin(\alpha + \beta)} \); б) \( R = 6\sqrt{2} + 3\sqrt{6} \) см.