3. В треугольнике ABC ∠B = 15°, ∠C = 45°, AB = 5√6. Найдите длину стороны AC и радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Сначала найдём третий угол: \(\angle A=180^\circ-15^\circ-45^\circ=120^\circ\).

По теореме синусов сторона \(AC\), лежащая напротив угла B, удовлетворяет равенству \(\dfrac{AC}{\sin15^\circ}=\dfrac{AB}{\sin45^\circ}\). Тогда

\(AC=5\sqrt6\cdot\dfrac{\sin15^\circ}{\sin45^\circ}=5\sqrt6\cdot\dfrac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\dfrac{5}{2}(3-\sqrt3)\).

Для радиуса описанной окружности используем \(AB=2R\sin C\):

\(R=\dfrac{AB}{2\sin45^\circ}=\dfrac{5\sqrt6}{\sqrt2}=5\sqrt3\).

Ответ: \(AC=\dfrac{5}{2}(3-\sqrt3)\), \(R=5\sqrt3\).