3. В треугольнике ABC, BC=12 см, AC=5 см и ∠C=90°. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).

Так как угол C прямой, по теореме Пифагора \(AB^2=BC^2+AC^2=12^2+5^2=169\), значит, \(AB=13\) см.

Угол между \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) — угол A. По теореме косинусов (или из прямоугольного треугольника) \(\cos A=AC/AB=5/13\).

Тогда \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|AB||AC|\cos A=13\cdot5\cdot\frac{5}{13}=25\).

Ответ: 25 см².